On peut se demander s'il vaut mieux apprendre (et enseigner) l'anglais britannique ou américain, et voici la réponse dans sa forme la plus concise :

Just learn English!

Et on pourrait rajouter "sans te poser plus de questions"
Car si l'accent est différent bien sûr, c'est déjà le cas au sein même du Royaume Uni (accent londonien, écossais) ou des Etats-Unis (West coast, East Coast)
Mais tout le monde se comprend assez bien, et pour nous francophones, c'est bien d'essayer de tous les comprendre également (pour comprendre aussi bien "Breaking Bad" que "GameOfThrones")

Voici un petit recap non exhaustif à destination des professeurs des écoles, pour voir les principales différences qui peuvent les concerner quand ils enseignent l'anglais :

- Au niveau de l'orthographe, il y a des mots qui diffèrent d'une lettre ou deux, ou dont les lettres sont inversées. Voici les principaux qu'on utilise en primaire (British à gauche, American à droite)
colour / color
favourite / favorite
grey / gray (la couleur grise)
mum / mom (diminutif pour maman)
learnt / learned (le verbe apprendre au passé)
theatre / theater (qui se prononcent de façon identique pourtant)
centre / center (idem)
realise / realize
traveling / travelling
programme / program

- Il y a des des termes différents entre les 2 pays pour désigner la même chose :
break / recess (la récré)
rubber / eraser (gomme)
autumn / fall
full stop / period (point à la fin d'une phrase)
mark / grade (la note donnée par le prof)
biscuit / cookie
chips / French fries (les frites)
crisps / chips (les chips !!!)
jumper / sweater (un pull, mot à consonance anglaise employé ... à contre emploi !)
trainers / sneakers (des baskets, idem donc)
trousers / pants (un pantalon, toujours au pluriel en anglais)
football / soccer (car le mot football aux US désigne le football américain, qui se joue essentiellement avec les mains ;)
holiday / vacation 
aubergine / eggplant
flat / apartment (un appart)

- Au niveau de la prononciation, il peut y avoir 2 prononciations correctes possibles [UK] puis [US]
France [frans] [fréns]
tomato [tomato]  [tomeilleto] 
schedule [chédjul] [skédjul] 
Z [zed] [ziii]
zebra [zébra] [ziiibra]

Bien sûr, l'accent est différent et c'est la prononciation de certaines lettres qui doit nous permettre de reconnaître instantanément un locuteur britannique et d'un américain. 
Le [a] de "car" par exemple, ou le fait qu'on entendra le r de la fin des mots en -er aux US ("brother", "player" ...) alors qu'au UK, on n'entendra que le e désaccentué (le fameux schwa [ə])
Autre remarque importante, les américains vont prononcer le "t" au milieu du mot plutôt comme un "d" : "British" devient "Bridish". Donc, "metal" et "medal" se prononcent souvent pareil pour un américain !

Il faut avouer que l'anglais britannique reste toujours autant "la norme" dans l'enseignement en France, mais on ne peut plus "dénigrer" l'anglais américain (330 millions de locuteurs et une culture omniprésente partout dans le monde) : on ne doit plus considérer un américanisme comme une faute d'anglais.
Et dans cette ouverture au monde, n'oublions pas d'intégrer le Canada, l'Australie, l'Afrique du Sud, ... avec leur propre accent, leurs propres expressions de locuteurs natifs anglophones.

Pour terminer, on peut se rassurer sur un point : il n'y aucun problème à "mélanger" les anglais UK et US. On pourrait s'astreindre à respecter une version de l'anglais à la lettre, dire [zed] et écrire "mum" comme les britanniques par exemple. Mais ce serait mal connaître la pluralité de cette langue, qui en fonction de la zone géographique, mélange les genres sans se soucier des préceptes. Les canadiens par exemple écrivent "colour" (à la UK) et disent [tomeito] (à la US). Ce qui revient à adopter l'adage cité plus haut : Just learn English!

Un mythe en moins ...